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农夫的博客

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钟面上的数学问题  

2013-07-15 18:17:58|  分类: 【微课---辅导培 |  标签: |举报 |字号 订阅

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钟面上的数学问题

 

知识精讲

一、知识点概述

  生活中到处都有你熟悉的数学,可钟面上的数学问题对你来说还真是个奥秘。钟面上刻有1234、……、1212个自然数,这12个数字依次绕圆心均匀地分布在一个圆周上,并配有时针、分针及秒针;时针、分针和秒针同时且各自有规律地匀速运动,用它们在表盘上走过的“路程”的多少来衡量所经过的时间的长与短,这就是钟表的功能。

  解决钟面上的数学问题要联系前面学习的追及问题,把握分针与时针的运动方向,分析追及路程、追及速度和追及时间的关系,从中一定会感受到数学的乐趣。

二、重点知识归纳及讲解

  钟面上的数学问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。钟面上的一周分为60格,当分钟走60格时,时针正好走5格,所以时针的速度是分针的5÷60=,分针每走60÷(1)=(分),与时针重合一次。钟面上的数学问题千变万化,存在不少的学问,这里列举一个基本公式:在初始时刻需追赶的格数÷(1)=追及时间(分钟),这里1为分针与时针的速度差。

三、难点知识剖析

1、现在是3点,什么时候时针与分针第一次重合?

分析:

  3点时分针指12,时针指3,分针在时针后5×315(个)格。

  每分钟分针与时针的速度差是,要使分针与时针重合,即使分针比时针多走15格,需要(分钟),所以,所求的时刻应为3分。

解:(分钟)

答:所求的时刻应为3分。

2、在10点与11点之间,钟面上时针和分针在什么时刻垂直?

分析:

  分两种情况进行讨论。

  ①在顺时针方向上分针与时针成270°角:

  在顺时针方向上当分针与时针成270°时,分针落后时针60×(270÷360=45(个)格,而在10点整时分针落后时针5×10=50(个)格。因此,在这段时间内,分针要比时针多走50455(个)格,而每分钟分针比时针多走分针的,因此由基本公式,到达这一时刻所用的时间为(分钟)。

  ②在顺时针方向上分针与时针成90°角:

  在顺时针方向上当分针与时针成90°角时,分针落后时针60×(90÷360=15(个)格,而在10点整时分针落后时针5×10=50(个)格,因此在这段时间内,分针要比时针多走5015=35(个)格,所以到达这一时刻所用的时间为:(分钟)。

解:

  ①在顺时针方向上当分针与时针成270°角时:

  

  ②在顺时针方向上当分针与时针成90°角时:

  

3、在9点与10点之间的什么时刻,分针与时针在一条直线上?

分析:

  分两种情况进行讨论。

  ①分针与时针的夹角为180°角:

  当分针与时针的夹角为180°角时,分针落后时针60×(180÷360=30(个)格,而在9点整时,分针落后时针5×9=45(个)格。因此,在这段时间内分针要比时针多走4530=15(个)格,而每分钟分针与时针速度差是(1),因此,到达这一时刻所用的时间为:15÷(1)=16(分钟)

  ②分针与时针的夹角为0°,即分针与时针重合:

  9点整时,分针落后时针5×9=45(个)格,而当分针与时针重合时,分针要比时针多走45个格,因此到达这一时刻所用的时间为:45÷(1)=49(分钟)

解:

  ①当分针与时针的夹角为180°角时:

  

  ②当分针与时针的夹角为0°即分针与时针重合时:

  

 

    我们每天都离不开时间,所以对钟表是再熟悉不过了。钟面(一个圆周)被等分为60个小格,分针走1个格用1分。把钟面看成一个周角(360°),分针每分扫过的圆心角度数为360°÷60=6°。因为分针的速度是时针的12倍(时针旋转一周用12小时,分针旋转一周用1小时),所以在相同的时间内,分针走过的格数及扫过的角度均为时针的12倍。所以,时针每分扫过的圆心角度数为6°÷12=0.5°。钟面被等分为12个大格,每个大格对应的圆心角度数为360°÷12=30°。聪明的同学们,根据对钟面的认识,你们能完成下面这两道题吗?

  1. 请在下面的钟面上画一条直线,将钟面上的数分成两组,使其中一组数的和是另一组数的和的2倍。

  2. 请在下面的钟面上画出5~6时之间,时针与分针成直角的时刻。

 

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